IMO 2026 · Bài 1

Đã khóa · chờ kiểm·Ngày 1·chưa xác định lĩnh vực·Bằng chứng I0 - Chưa định phạm vi

Phụ thuộc lời giải chính thức: Không·Đã xem lời giải chính thức: CHƯA

Audit chứng minh: NOT-STARTED·Đã tiếp xúc lời giải nội bộ: CÓ

Bản thảo lời giải sẵn có

Một bản thảo lời giải hoàn chỉnh được tạo trước đó trong dự án. Giữ nguyên tại đây; không phải lời giải chính thức của IMO và chưa được audit độc lập.

IMO2026_Day1_Problem1.pdfTải PDF

tạo 2026-07-16mức: L4-candidate (human-checkable write-up)audit: AUDIT-PENDINGsha256:3fa9e154caa6…

Independent HIVE-IMO X manuscript. Not an official IMO solution, and not independently verified under the new pipeline.

Đề chính thức

There are $2026$ integers greater than $1$ written on a blackboard, not necessarily different. In a move, Confucius chooses two integers $m>1$ and $n>1$ from different places on the blackboard and replaces these two integers with $\gcd(m,n) \qquad \text{and} \qquad \frac{\operatorname{lcm}(m,n)}{\gcd(m,n)}.$ He continues to make moves while it is possible to do so.

(a) Prove that, regardless of the choices of Confucius, after finitely many moves, exactly one integer $M$ on the blackboard is greater than $1$ .

(b) Prove that the value of $M$ does not depend on the choices of Confucius.

(Note that $\gcd(x,y)$ denotes the greatest common divisor of positive integers $x$ and $y$ , and $\operatorname{lcm}(x,y)$ denotes the least common multiple of $x$ and $y$ .)

nguồn chính thức ↗frozen 2026-07-21sha256:cbe3015874…

Bản dịch tiếng Việt

Bản dịch sát nghĩa do Fable soạn, chờ Human duyệt (tên riêng giữ nguyên dạng gốc).

Có $2026$ số nguyên lớn hơn $1$ được viết trên một tấm bảng, không nhất thiết khác nhau. Trong một nước đi, Confucius chọn hai số nguyên $m>1$ và $n>1$ ở hai vị trí khác nhau trên bảng và thay hai số này bằng $\gcd(m,n) \qquad \text{và} \qquad \frac{\operatorname{lcm}(m,n)}{\gcd(m,n)}.$ Ông ấy tiếp tục thực hiện các nước đi khi còn có thể.

(a) Chứng minh rằng, bất kể Confucius chọn thế nào, sau hữu hạn nước đi, có đúng một số nguyên $M$ trên bảng lớn hơn $1$ .

(b) Chứng minh rằng giá trị của $M$ không phụ thuộc vào cách chọn của Confucius.

(Ở đây $\gcd(x,y)$ ký hiệu ước chung lớn nhất của các số nguyên dương $x$ và $y$ , và $\operatorname{lcm}(x,y)$ ký hiệu bội chung nhỏ nhất của $x$ và $y$ .)

Bài toán hỏi gì

Phần giải thích ngắn gọn được viết trong S1–S3, sau khi Human và AI đọc độc lập. S0 chỉ khóa đề, chưa diễn giải.

Ma trận đóng góp Human × AI

Ghi đóng góp theo từng bước. Phê duyệt cuối luôn do Human chủ trì và được kiểm chứng độc lập.

Hạng mục	Human	Sol	Fable	Verifier độc lập
Diễn giải đề	-	-	-	-
Ý tưởng cốt lõi	-	-	-	-
Phát hiện bổ đề	-	-	-	-
Tìm phản ví dụ	-	-	-	-
Viết chứng minh	-	-	-	-
Kiểm hình thức	-	-	-	-
Phê duyệt cuối	-	-	-	-

Đóng góp được ghi theo từng bước; chưa gán vai trò nào cho tới khi bắt đầu.

Vuốt ngang để xem đầy đủ các cột →

Chuẩn bị audit (S0-R)

Bản thảo đã được tái nối thành hồ sơ sẵn sàng cho verifier: gắn đề, section map, và bộ khung nghĩa vụ chứng minh. Chưa nghĩa vụ nào được kiểm chứng.

trạng thái: RECONCILEDđề: MATCHnghĩa vụ chứng minh: 5 (3 tải trọng cao)đã audit: 0/5

Mọi nghĩa vụ được đánh dấu CLAIMED (do bản thảo khẳng định), không phải VERIFIED. Audit độc lập bởi verifier chưa bị nhiễm chưa bắt đầu.

proof_obligations.json ↗verifier_input_manifest.json ↗sha256:c6d3faaab3d1…

Timeline · S0–S14

S0Khóa đề chính thức
HUMAN · Pending: Human V3 translation review + contamination attestation.AI · Fable froze the official statement, produced normalized EN + VI draft, source record, contamination ledger and SHA-256 manifest. Sol V2 semantic review pending. No solving.
problem_en.mdsha256:61afd1f532…ed4d96 problem_en.normalized.jsonsha256:83cd21b0fc…7a84f3 problem_vi.reviewed.mdsha256:dedcfb4c38…6a9a78 source_record.jsonsha256:319fbb22eb…cb35d9 contamination_ledger.jsonsha256:5f50d50b4d…70def8
S1Human đọc mù
Chưa bắt đầu.
S2AI đọc độc lập
Chưa bắt đầu.
S3Hợp nhất đối chiếu
Chưa bắt đầu.
S4Phân rã hình thức
Chưa bắt đầu.
S5Trinh sát miền nhỏ
Chưa bắt đầu.
S6Giải đấu hướng đi
Chưa bắt đầu.
S7Rèn bổ đề
Chưa bắt đầu.
S8Ghép proof ứng viên
Chưa bắt đầu.
S9Phản biện đối kháng
Chưa bắt đầu.
S10Tái dựng độc lập
Chưa bắt đầu.
S11Human viết lại chứng minh
Chưa bắt đầu.
S12Kiểm chứng độc lập / hình thức
Chưa bắt đầu.
S13So sánh lời giải chính thức
Chưa bắt đầu.
S14Công bố và postmortem
Chưa bắt đầu.

Bản đồ hướng đi

Tối đa ba hướng chính sống sót qua giải đấu ở S6.

Chưa có hướng đi nào được đề xuất.

Những hướng đã thất bại

Các hướng thất bại và proof bị bác được giữ vĩnh viễn, không bao giờ xóa.

Chưa ghi nhận.

Bổ đề chính

Bổ đề xuất hiện tại đây khi được rèn ở S7, mỗi bổ đề có phát biểu chính xác và một evidence class.

Chứng minh - bản gọn

Được viết ở S11 theo văn phong olympiad tự nhiên, chấm được 0–7 mỗi bước. Chưa có.

Chứng minh - bản chú giải

Bản chú giải với lý do và phụ thuộc chưa có.

Kiểm chứng độc lập

Bắt buộc trước khi được hiển thị trạng thái VERIFIED-INDEPENDENT.

Chưa có kiểm chứng độc lập. Trạng thái sẽ không đạt VERIFIED-INDEPENDENT cho tới khi một chuyên gia olympiad, một model family độc lập, hoặc chứng minh hình thức (Lean/Isabelle/Coq) xác nhận.

So sánh lời giải chính thức

Xem lời giải chính thức sau khi freeze proof: NO
Phụ thuộc lời giải chính thức: NONE

So sánh đầy đủ (ý tưởng cốt lõi, độ dài, tính tự nhiên, khác biệt) chạy ở S13, chỉ sau khi proof đã freeze.

Tải artifact

Mọi tệp được công bố kèm checksum SHA-256.

problem_en.mdsha256:61afd1f532…ed4d96 problem_en.normalized.jsonsha256:83cd21b0fc…7a84f3 problem_vi.reviewed.mdsha256:dedcfb4c38…6a9a78 source_record.jsonsha256:319fbb22eb…cb35d9 contamination_ledger.jsonsha256:5f50d50b4d…70def8

MANIFEST sha256: 34b34081d3218512555cdb9dfd33dc2c68f67cc829e076ab9a3e0277133ecadb

Lịch sử thay đổi

21/7/2026Khởi tạo record
Ledger được tạo ở trạng thái FROZEN-PENDING-REVIEW. Chưa ghi nhận tiến độ toán học.